综合与实践：探寻神奇的幻方
江阴市第一初级中学 数学组 张炜钰
一、教学分析
1.教材地位、作用
《探寻神奇的幻方》是一节综合与实践课，是在学生有了探究规律活动经验的基础上，以洛书三阶幻方为素材，进而探究三阶幻方的本质特征，是对数字规律探究的延伸，是对数量关系符号化的进一步深入和拓展，是对人类智慧的数字化解读.本节课旨在帮助学生感受图形的对称，感受综合运用有理数运算的有关知识解决问题，感受一种全新的以自主探究为特色的学习方式，体验数形结合的思想，丰富学生的数学活动经验。
2.教学目标
依据《数学课程标准》和教学内容的特点及学生的认知水平，确定如下教学目标:
(1)运用有理数运算探索三阶幻方的本质特征。
(2)经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验。
(3)通过洛书的引入，学生了解我国古代文化价值，感受数学与生活的联系。通过探索幻方中蕴含的规律，学生能感受类比、归纳、化归的数学思想，激发学生探究的积极性，培养合作精神。
3.教学重点和难点
教学重点：探索三阶幻方的本质特征
教学难点：根据探索的规律，能够构造符合要求的三阶幻方
二、学情分析
学生知识基础：幻方是对数、字母表示数等知识的综合应用，前面学生已经学习了有理数及其运算、整式及其加减、一元一次方程等相关知识，对图形的对称性也有了初步了解，这使本节课探究幻方中数字背后的一般规律成为可能。
学生活动经验：七年级学生正处在由合情推理初步向演绎推理过渡的阶段，小学学生经历了找规律、推理、建模等专题活动的学习，初中阶段在探究日历中数字规律时，又经历了由特殊到一般的过程，体会了代数推理的特点和作用，具备了探究规律的能力和初步的模型思想意识，这些都为探究三阶幻方本质特征做好了准备。
但七年级学生初次接触综合与实践课，部分学生对研究幻方本质规律的思路不清晰，对于从什么角度关注幻方中奇偶数的分布特点没有意识，对用9个连续自然数构造一个三阶幻方缺乏条理性的思考，操作时会有困难。
三、课堂记录
（一）前置学习（幻方初体验）
学生收集有关幻方的材料，包括追溯幻方的历史，幻方在影视作品中的呈现，通过课前的预习，对幻方有了初步的认识。
（前置学习，是教学的准备阶段，也是教学过程不可或缺的组成部分，为后续进入深度理解、交互学习、能力转化提供学习准备。认知准备不是简单的预习，而是为深度理解学习提供必要的基础。综合实践课学习方式的具有自主性与多样性，引导学生不拘泥于课本所学，积极查阅资料,不断丰富知识面，进而激发他们的探究兴趣，培养学生求新求异的思维方式。）
（二）交互学习（幻方新认识）
游戏导入，激活情境。
师：老师有一个绝技，想给同学们表演一下，首先请班长随机说出一个数。
生：数字5。
师：（拿出准备好的4×4的空白网格图，完成填写）在这个网格图中，我能够很快填满数字，并且保证每行每列的数字和都是5。
-5 | -9 | 12 | 7 |
11 | 8 | -16 | 2 |
5 | 10 | 3 | -13 |
-6 | -4 | 6 | 9 |
大家可以验算一下，是否正确，并且我将我的这幅作品送给学好是5号的幸运同学。
师：这张图，只是做到了每行每列的数字和都是5，今天我们要研究的是在n阶网格图中，每行、每列、对角线的和都相等的情况。
（七年级的学生，依然保持了小学生的特征，看问题处在直观和感性阶段，用游戏引入课题，增加趣味性，激发学生学习的兴趣，也引导学生对本节课内容幻方有了初步的认识。）
角色互换，导向学习。
师：同学们课前都对幻方进行了预习，请同学们来展示你的预习成果。
生1：幻方在影视作品中也多见，比如在《射雕英雄传》中，黄蓉的歌诀就是说的幻方的知识。（影视作品欣赏）
生2：分享“洛书故事”：洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有如图所示图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，洛书中蕴含的规律奥妙无穷.同学们能将龟背上的数字填入相应的网格中吗？此时我们会发现每一行、每一列、每一条对角线上的三个数的和有怎样的特征呢？
2 | 9 | 4 |
3 | 5 | 7 |
6 | 1 | 8 |
（此环节由学生掌握主场，变换常态的“师为师，生为生”的一成不变的角色，给学生充分展现自己的机会，体现学生在课堂中的主体性，在这种变化的互动教学中，让学生形成正确的认知定型，使合作探究不再是一个抽象的名词。）
观察总结，形成概念。
师：（板书1 ）每行、每列、每条对角线上的几个数字的和都相等的方格，叫“幻方”.按照纵横格数字的个数，可以分为三阶幻方（九宫格）、四阶幻方……
（板书2）幻方中位于对角线交点的数叫做中心数。
（板书3）每行、每列或每条对角线上的几个数字的和叫“幻和”。
师：请同学们结合幻方的概念，说说所给幻方的中心数、幻和分别是多少？
生：结合教师所给的例题，回答相应问题。
（通过对常规三阶幻方的观察总结，形成幻方的有关概念，教给学生学习、理解概念的方法。引导学生的理解过程，就是促进学生知识意义的生成与能力的转化。）
问题导向，探究操作。
师：同学们，你知道历史上还有哪些构造幻方的方法呢？请大家先小组讨论，然后再来展示。
生1：展示“杨辉法”。
生2：展示“罗卜法”。
生3：展示“巴舍法”。
师：在现今的你，你将如何构造三阶幻方呢？
师：1. 怎样计算幻和？
中心数为什么是5？
幻和与中心数的关系是什么？为什么？
四个角上的数为什么都是偶数？
……
（开放课堂，让学生用他们所了解的知识来完成学习任务，除了准备网格图，还准备了吸铁石的数字，方便学生展示。充分展现数学实验课的工具性的特征，让学生由“看演示”变“动手操作”，由“机械学习”变“主动探究”，发展学生的主体意识，让学生体验发现知识的乐趣，提升思维，给予创新的机会.在本环节的操作中，学生会有各中问题发生，然而发现错误、解决问题的过程，本身就是重新认识、学习幻方的过程。）
能力转化，拓展提高
师：任意9个数，你将怎样填入三阶幻方呢？请同学们思考并尝试。
生1：从幻和、中心数角度入手……
生2：……
生3：……
师：任意16个数，你将怎样填入四阶幻方呢？请同学思考并尝试。
生1：……
生2：……
（在学生充分理解幻方的概念及构造的基础上，创新幻方，体现数学中“从特殊到一般”的数学思想方法，更体现我校“因理解而生”的励实学堂的内涵本质：为理解而教，为理解而学，因理解而生。）
（三）拓展学习（幻方再体验）
师：通过实践和探究，同学们认为三阶幻方有怎样的奥秘？
你对幻方还有怎样的猜想？
生1：……
生2：……
师：尝试用9个不同的数构造一个幻和是60的三阶幻方。
（本节课学生在“多角度实践"中不断亲身经历、不断积累经验，提高了质疑生成的能力，感受了图形的对称美，发现了三阶幻方的本质特征，形成了构造三阶幻方的策略，发展了数感，在自主探究和合作交流的过程中感悟了类比归纳、数形结合、分类讨论、从特殊到一般及化归等数学思想方法，增强了有条理的思考问题的意识，使每个学生都受到良好的数学教育，发展了综合探究及实践能力。）
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