教学内容：苏教版《义务教育教科书·数学》五年级上册第 94～95 页例 1、“练一练”，练习十七第1～3题。
教学目标：
1.使学生经历用列举的策略解决实际问题的过程，能运用列举的策略找到符合要求的所有答案。
2.使学生在不断反思中感受列举策略的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。
3.使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
教学重点：用画图、列表、符号表示等列举方式解决实际问题，在体会列举方法多样性的过程中促进列举策略的内化。
教学难点：能不重复不遗漏地、有序地进行列举，并灵活采用合适的列举方式解决实际问题。
教学过程：
一、创设回忆情境，引出解题策略
师：同学们，今年是抗日战争胜利 73周年。当年为了打败敌人，毛泽东主席提出了著名的游击战术——
课件出示：敌进我退 敌驻我扰
敌退我追 敌疲我打
师：打仗要讲究谋略，我们学习数学、解决问题，同样需要讲究策略。回想一下，我们已经学过哪些解决问题的策略？
对，我们已经学习了画图、列表、转化、从条件想起、从问题想起等解决问题的策略。今天这节课我们就继续来研究解决问题的策略。
板书：解决问题的策略。
二、创设探究情境，体验列举策略
1.理解题意。
师：王大叔准备围一个花圃种鲜花献给抗日烈士。围花圃的时候，他遇到了一个问题。（出示例1）谁来读题？
师：题目中的哪些关键信息需要我们特别关注？（22 根，1 米长，长方形，面积最大）这些关键信息让你想到些什么？先在4人小组说一说。
师：哪个小组来汇报？
生1：下面我们组汇报。要使围成的长方形面积最大，就要让它接近正方形。
生2：这个长方形的周长是22米，那长加宽的和就是11米。
生3：我来补充，11 可以分成 9 和 2，3和8，4和7等，而5和6是最接近正方形的情况。
生4：周长是 22 米的长方形有多种不同的围法。其他同学还有补充吗？
……
师：围成的长方形的长或宽可能是几点几米吗？为什么？
生：应该都是整米数，因为是用1米长的木条围的。
师：要想快速地找到一种围法，关键是要由周长22米，求出什么？
生：求出长加宽的和，用 22 除以 2 等于11米。
2.分组列举。
师：根据长加宽的和是 11 米，你能找出所有的情况，并确定哪种围法面积最大吗？你准备用什么方法将所有的围法一一列举出来呢？
生1：可以摆小棒、画图。
生2：也可以列表。
师：在列举时，怎样做到不重复、不遗漏呢？
生：要有顺序地去列举。
相机板书：有序列举，不重复不遗漏，
摆小棒、画图、列表……
师：下面就请同桌2人合作，用自己喜欢的方法将不同的围法有序地列举出来，画图的画在白纸上，列表的完成在表格里，摆小棒的摆在课桌上。音乐响起开始活动，音乐停止结束活动，看哪一桌合作的效率最高。开始吧！
学生列举，教师巡视并相机指导，再指名一桌学生到投影仪上摆小棒。
3.展示交流。
师：我们先来看投影仪上摆小棒的情况。请你们 2 人来汇报，找到了几种围法？怎样围面积最大？
生1：我们找到了 5 种围法，长方形的长和宽分别是10米、1米；9米、2米；8米、3米；7米、4米；6米、5米。
生2：我们发现长 6 米、宽 5 米的时候，长方形的面积最大。
师：谁来点评一下他们摆小棒的情况？
生1：他们摆得很有顺序！
生2：摆小棒很形象，很容易看出哪个长方形的面积最大。
师：我们再看画图的情况。（学生举手）请你们 2 人介绍一下列举的顺序？长从几米开始，是怎么变化的？宽呢？
生：我们将长从最大的 10 米开始，依次减少1米；宽从最小的1米开始，依次增加1米。
师：为什么列举到长6米、宽5米就不再往下列举了？
生：再往下的话就跟前面的重复了。
师：这样按顺序列举有什么好处？
生：能保证列举时既不重复，也不遗漏。
师：最后我们来看列表的情况。哪一桌来汇报一下。
生1：（出示下表）我们也找到了5种围法，第1种长10米、宽1米、面积是10平方米……
生2：我们也发现当长 6 米、宽 5 米时，面积最大，是30平方米。
4.回顾反思。
师：刚才我们借助摆小棒、画图、列表等将所有的围法一一列举出来了。这样的策略我们称作什么？
生：（齐）列举！
师：回顾列举的过程，你有哪些体会或认识？
生1：一定要有序列举。
生2：可以用不同的方法来列举。
师：像这样有序地将围成的长方形一个一个地列举出来，找到问题答案，也是一种解决问题的策略，叫做一一列举。列举时一定要有序思考，做到不遗漏、不重复。为了清楚地记录列举过程，可以借助摆小棒、画图、列表等多种方式来进行。
5.发现规律。
师：回想刚才摆小棒、画图的过程,再仔细观察这张表格，你觉得这 5 个长方形的共同点是什么？
生：它们的周长是一样的，长与宽的和都是11米。
师：周长不变时，长方形的长、宽、面积有怎样的变化规律？
生1：长和宽的差越小，面积越大。
生2：长和宽的差越大，面积越小。
师：大家都注意到了长与宽的差，我们不妨来算一算它们的差，依次是——
生：9、7、5、3、1。
师：谁来完整地说一说刚才的发现？
生：当长方形的周长一定时，长和宽的差越小，面积就越大；长和宽的差越大，面积越小。
师：想象一下，如果长与宽可以是小数时，当长越来越长，而宽越来越短，那宽就越接近多少了，面积呢？
生1：宽就越接近 0 了，那长方形就接近一条线段了。
生2：长方形的面积也就接近0了。
师：说得很好！再想象一下，如果长与宽越来越接近，长方形的面积会怎样？
生1：如果长与宽越接近，长方形的面积越大。
生2：当长与宽相等，都是 5.5 米时，长方形的面积最大，是30.25平方米。
师：说得真好！我们不仅用一一列举的策略解决了王大叔围花圃的问题，还发现了蕴含在其中的规律。
6.丰富体验。
师：请大家回想一下，在以前的学习中，我们曾经运用列举的策略解决过哪些问题？
生1：我们在学习数的分与合时用过列举的策略。例如，10 可以分成 9 和 1、8和2、7和3、……
生2：我们在用数字组成数的时候，也用过列举的策略。例如，用 1、2、3 这三个数字，可以组成 321、312、231、213、132 和123这6个数。……
师：看来，列举的策略我们早就接触过。那你能运用列举策略解决一些新的问题吗？
【反思】借助“王大叔围花圃，怎样围面积最大”的问题情境，组织学生认真审题与思维碰撞，同时尊重学生的研究方式，以同桌两人为合作单位，自主选择摆小棒、画图与列表等方式，体现思维方式的多样性，使学生在形象性与抽象性并举的多元表征中，不仅用自己喜欢的方式解决了问题，还发现了其中蕴含的规律，感受到变与不变的结构美。至此，探究之真、合作之善、规律之美等数学学习中的人文价值也得到了很好地体现。
三、创设应用情境，巩固列举策略
1.完成“练一练”第1题。
出示题目（如下图），让学生读题。
启发：由题中的条件你能知道什么？
你打算用什么策略来解决问题？
生1：我知道这个闹钟从9：00起，每隔40分钟就发出铃声。
生2：可以从 11：00 开始列举，每次加40 分钟，将发出铃声的时间一一列举出来，就能找到答案。
学生独立进行列举，然后组织反馈，说一说是怎样列举的。
师：根据列举的结果，你还发现了哪些有趣的现象？
生1：我还发现，整点数是每隔 2 小时就出现，9：00，11：00，13：00，15：00，都是单数。
生2：我发现，如果是几时几分的话，肯定是几时40分或几时20分。
师：再仔细观察，几时40分中的几时，都是什么数？
生1：9：40、11：40、13：40 等，其中的几时都是单数，也是每隔2小时出现一次。
生2：我还发现，几时20分中的几时都是双数，如10：20、12：20、14：20、16：20等，也是每隔2小时就出现一次。
师：同学们真了不起！通过列举不仅找到了问题的答案，还敏锐地发现了其中的规律。借助规律，你能直接报出几个响铃的时间吗？……
师：列举的策略真有用，不但能解决一些比较复杂的问题，还能帮助我们发现规律，并运用规律解决问题。难怪德国数学家开普勒这样说——
出示：数学就是研究千变万化中不变的规律。
师生齐读。
【反思】在此题的练习中，没有停留在为解题而解题的功利层面，而是顺势而上，借助列举策略既解决了实际问题，又发现了响铃时间的变化规律，进而利用规律来快速地解决问题，使学生充分体验了列举策略的实用价值，感受到数学规律的神奇与运用规律的方便与快捷。
2.完成“练一练”第2题。
出示题目，让学生读题。
提问：表格中先选定的是哪种菜，有哪几种搭配，接着怎么搭配？你能利用表格找到一共有多少种不同的搭配方法吗？
学生独立完成后，组织反馈。
提问：刚才是先选定一种荤菜去搭配素菜，共搭配出几个几？
生：共搭配出3个4种，4×3=12（种）。
师：还有其他思路吗？
生：先选一种素菜去搭配荤菜，可以搭配出4个3种。
师：除了用表格一一列举外，还可以借助什么方式来列举？
生：可以连线或用符号、字母来列举。
师：哪种列举方式比较简便？
生：连线或用符号、字母表示。
小结（略）。
【反思】在例题的情境中，学生想到的列举方式有摆小棒、画图和列表，列表的方式比较简便；而在此题中，列表就显得比较麻烦了。于是在学生完成列举之后，进一步启发他们用连线或符号来列举，从而丰富了列举的方式，渗透了优化意识与符号意识，训练了学生活学活用的开放思维和辩证思维。
3.猜一猜与算一算。
师：上课一开始，我们谈到了毛主席的游击战术。提到战争谋略，我们不得不说到著名的军事著作《三十六计》。这本书里讲到了好几套战术，而且每套战术中都有相同数目的计策，猜一猜，《三十六计》中可能分几套战术，每套几计？
生1：可能是3套战术，每套12计。
生2：也可能是12套战术，每套3计。
生3：也可能是6套战术，每套6计。
师：是的，《三十六计》恰好是 6 套，每套 6 计。瞧，列举策略真的能帮助我们解决很多问题。关于36，还有这样一个数学问题——
出示：两个自然数相乘，积是 36 的乘法算式有多少个？
师：你能不重复不遗漏地把符合条件的算式一一报出来吗？
生：1×36、36×1，2×18、18×2，3×12、12×3，4×9、9×4，6×6,一共有9道不同的算式。
【反思】在解答“积是36的乘法算式有多少个”之前，安排有关《三十六计》的实际问题，这既是对本节课开始有关战争谋略话题的呼应，也让学生了解更多策略方面的文化，以开拓视野。
4.完成练习十七第2题。
过渡：为了纪念抗日战争胜利 71 周年，各大网站都推出了很多相关的内容，更新速度也加快了。请看——
出示题目（如下图）：
师：A网站每2天更新一次，就是中间隔几天再更新？
生：就是中间隔1天再更新。
师：每3天更新一次，就是中间隔几天再更新？
生：2天！
师：每4天更新一次，就是——
生：中间隔3天再更新。
师：你能根据题意先画出更新日期，再回答问题吗？
学生独立完成，教师巡视。
师：A 网站的更新日期分别是哪些日期？B网站、C网站呢？
指名回答后，小结：借助一一列举，我们顺利地解决了看似复杂的问题。
5.完成练习十七第3题。
师：去年，我国还发行了纪念抗日战争胜利70周年的邮票。我们来看——
出示下面的邮票图和题目：
小芳收集了 4 枚纪念抗日战争胜利70周年的邮票，用这些邮票能付多少种不同的邮资？
师：你觉得付邮资时一次可以用几枚邮票？你能有序地列举出所有的情况吗？学生独立完成后，指名展示和交流，并用课件呈现出选1枚、2枚、3枚和4枚邮票付邮资的情况。
师：一共能付多少种不同的邮资？
指名回答后，教师小结。
【反思】上述环节，教师有心无痕地将战术书籍、网站的网页更新、纪念邮票等历史、现实资源融入课堂，使得整节课的多个环节在纪念抗日战争胜利的“情境串”中联结为一个密不可分的整体，使得课堂学习活动既有纯纯的“数学味”，又有浓浓的文化味，扎实、有效地提升学生的数学素质和人文素质。
四、创设反思情境，拓展列举策略
师：这节课，你有哪些收获？学生交流，师生共同小结。
师：最后我们再来看一个问题——
出示题目：为了纪念抗日战争胜利73周年，学校决定举行“强体魄、扬国威”的足球比赛活动。有 4 支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每2支球队比赛一场，一共要比赛多少场？
师：这个问题留给大家课后去思考，找到答案后，把你的想法与同学交流。
【反思】
提前出示下节课将要探究的问题，使学生不仅带着满满的收获走出课堂，更带着新的疑问走向课外，有准备地进入新一轮的思疑、释疑，以及建模、应用、创新的成长历程。同时，将问题改造为学生身边即将发生的足球赛问题，使他们的视角由数学转向生活，由训练大脑转向健体强身，真实感受数学与生活的联系，渗透“野蛮体魄、文明精神”的挑战意识。
【总体反思】
数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。新一轮的课程改革又特别强调课程的整合性与选择性，强调对学生核心素养的培养。而要实现核心素养的提升，我们在课堂上不仅要对学生进行人文关怀，更要竭尽全力地将科学、社会、历史、文学、艺术等资源融入课堂，使数学教学过程不仅充满理性智慧，更充满人文因子，
放射着人性情感的光芒，达成“立德树人”的根本任务，真正提升学生的科学素养、数学素养和人文素养，实现如张孝达先生所期望的：给我们的所有学生一双能有数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的大脑；一副谋国家富强人民幸福的心肠。
王洁